Vincenzo Vespri, Ordinario di Analisi Matematica all’Università di Firenze
Per secoli i matematici hanno avuto almeno una certezza: i teoremi erano roba loro. Poi sono arrivati i computer. Prima facevano i conti, poi hanno battuto Kasparov a scacchi, poi hanno imparato a scrivere, programmare e tradurre. Restava l’ultima fortezza: inventare matematica nuova. Adesso potrebbe essere caduta anche quella. OpenAI ha annunciato un risultato che potrebbe risolvere uno dei leggendari Problemi del Millennio, quello delle equazioni di Navier–Stokes.
Nel 1900 il grande matematico tedesco David Hilbert fece qualcosa di piuttosto insolito. Invece di celebrare ciò che la matematica aveva già conquistato, decise di indicare quello che ancora non sapeva. Presentò una lista di 23 grandi problemi che, a suo giudizio, avrebbero dovuto impegnare i matematici del nuovo secolo. Fu quasi un programma di ricerca per il Novecento: alcuni problemi vennero risolti rapidamente, altri richiesero decenni, altri ancora portarono alla nascita di intere nuove branche della matematica. E in qualche caso si scoprì addirittura che ciò che Hilbert chiedeva non poteva essere fatto.
Esattamente un secolo dopo, nel 2000, il Clay Mathematics Institute riprese idealmente quella sfida e scelse sette problemi considerati fra i più profondi e difficili della matematica contemporanea. Questa volta aggiunse però un incentivo molto poco hilbertiano: un milione di dollari per ogni soluzione. Nacquero così i celebri Millennium Prize Problems. Tra essi figurano l’ipotesi di Riemann, la congettura di Poincaré e il problema delle equazioni di Navier–Stokes. Non sono semplicemente rompicapi particolarmente difficili: ciascuno si trova al centro di un vastissimo territorio matematico e una sua soluzione può cambiare il nostro modo di comprenderlo.
La matematica, del resto, vive da sempre di queste grandi sfide. E una delle più famose nacque quasi per caso, sul margine di un libro. Nel Seicento il matematico francese Pierre de Fermat, leggendo l’Arithmetica dell’antico matematico greco Diofanto, annotò di aver scoperto una «dimostrazione veramente meravigliosa» di una sua affermazione sui numeri interi. Il problema, oggi conosciuto come Ultimo teorema di Fermat, può essere spiegato anche a chi non è matematico. Tutti conosciamo il teorema di Pitagora e sappiamo, per esempio, che 3, 4 e 5 formano un triangolo rettangolo perché 3 al quadrato più 4 al quadrato fa 5 al quadrato. Fermat affermava che, sostituendo i quadrati con cubi, quarte potenze e così via, non esistono più soluzioni dello stesso tipo formate da numeri interi positivi. Poi aggiunse la frase diventata leggendaria: aveva una dimostrazione meravigliosa, «ma questo margine è troppo stretto per contenerla».
Era il 1637. Per oltre tre secoli nessuno riuscì a ricostruire quella presunta dimostrazione. Generazioni di matematici professionisti e dilettanti si lanciarono nell’impresa. La soluzione arrivò soltanto negli anni Novanta del Novecento grazie al matematico britannico Andrew Wiles, dopo anni di lavoro quasi segreto. E utilizzava strumenti matematici talmente moderni e sofisticati che rimane il legittimo sospetto che Fermat, semplicemente, si fosse sbagliato e che quella sua «meravigliosa dimostrazione» non fosse poi così meravigliosa. O forse non esistesse affatto.
Un’altra grande sfida ebbe un protagonista ancora più singolare. Nel 1904 il francese Henri Poincaré aveva posto un problema riguardante la forma degli spazi tridimensionali. L’idea intuitiva può essere raccontata con un elastico. Se lo appoggiamo sulla superficie di una sfera, possiamo sempre farlo restringere progressivamente fino a ridurlo a un punto senza tagliarlo. Se invece lo mettiamo attorno al buco di una ciambella, non possiamo farlo: il buco ce lo impedisce. Poincaré si domandò, in sostanza, se questa proprietà potesse caratterizzare la sfera anche nel ben più difficile mondo tridimensionale. La domanda sembrava semplice. La risposta resistette per quasi cent’anni. A risolverla fu Grigori Perelman, un matematico russo di San Pietroburgo che, tra il 2002 e il 2003, mise gratuitamente su Internet alcuni lavori sviluppando le idee del matematico americano Richard Hamilton. Dopo anni di verifiche, la comunità matematica concluse che Perelman aveva davvero risolto la congettura. Nel 2006 gli fu assegnata la Medaglia Fields, il riconoscimento più prestigioso della matematica. Perelman la rifiutò. Nel 2010 il Clay Mathematics Institute gli assegnò il premio previsto per la soluzione del primo Millennium Problem: un milione di dollari. Rifiutò anche quello. Un comportamento difficilmente comprensibile secondo i normali parametri della carriera accademica, ma coerente con un uomo che sembrava completamente disinteressato a denaro, premi e celebrità. Perelman riteneva inoltre che non fosse corretto separare troppo nettamente il proprio contributo da quello di Hamilton, le cui idee erano state decisive.
Rimane poi quella che probabilmente è la più celebre delle grandi questioni ancora aperte: l’ipotesi di Riemann. Formulata dal matematico tedesco Bernhard Riemann nel 1859, riguarda, attraverso un sorprendente percorso matematico, la distribuzione dei numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13 e così via, quei numeri divisibili soltanto per uno e per se stessi. I numeri primi sembrano comparire lungo la successione dei numeri quasi senza una regola: a volte sono vicini, a volte enormemente lontani. Eppure, dietro questo apparente disordine esiste una struttura profondissima. Riemann intuì che il segreto fosse collegato al comportamento di una particolare funzione matematica, oggi chiamata funzione zeta. La sua congettura è stata controllata al computer per quantità sterminate di casi e continua ostinatamente a risultare vera. Ma per un matematico questo non basta. Si possono controllare milioni, miliardi o trilioni di casi. Resta sempre possibile che il successivo sia quello sbagliato. La matematica pretende qualcosa di molto più radicale: una dimostrazione che stabilisca che l’affermazione è vera sempre, senza bisogno di controllare un caso dopo l’altro. Dal 1859 quella dimostrazione non è stata trovata. E il milione di dollari è ancora lì.
Fino a pochi giorni fa sembrava altrettanto irraggiungibile anche il milione destinato a un altro Millennium Problem, molto diverso da quello di Riemann e apparentemente assai più vicino alla vita quotidiana: le equazioni di Navier–Stokes, cioè le equazioni che descrivono il movimento dei fluidi. Ed è proprio qui che, nel settembre 2026, entra in scena un concorrente che Hilbert, Fermat, Poincaré e probabilmente persino Perelman non avrebbero potuto immaginare: l’Intelligenza Artificiale.
Le equazioni di Navier–Stokes descrivono acqua, aria, vortici, correnti e turbolenza. Le usiamo continuamente in fisica e ingegneria. Ma c’è una domanda fondamentale alla quale non sappiamo rispondere: in tre dimensioni, una soluzione inizialmente regolare rimane sempre regolare oppure può sviluppare una singolarità in tempo finito? In parole povere: le equazioni possono esplodere? Per decenni nessuno è riuscito a dare una risposta definitiva. Poi è arrivata l’AI. Secondo OpenAI, il problema è stato affrontato da migliaia di agenti artificiali capaci di lavorare in parallelo, provare strade diverse, scambiarsi risultati e verificare passaggi. Una specie di gigantesco dipartimento di matematica dove nessuno dorme, nessuno va a pranzo e nessuno deve partecipare a riunioni amministrative. Il risultato sarebbe arrivato in pochi giorni. Se verrà confermato, l’impatto sarà enorme.
Ma qui comincia il giallo. Tristan Buckmaster e Levent Alpöge stavano lavorando su problemi molto vicini, sviluppando idee nate da lavori precedenti di Diego Córdoba e Luis Martínez-Zoroa. E anche loro utilizzavano intensamente l’Intelligenza Artificiale. Claude, Codex, modelli GPT. Non per correggere l’inglese, ma per fare matematica. Poi OpenAI ha annunciato una soluzione che percorre una direzione sorprendentemente vicina. Buckmaster non accusa nessuno di furto e OpenAI nega di avere avuto accesso ai loro lavori non pubblicati. Quindi non sappiamo se ci sia stato alcun trasferimento di informazioni.
Ma il problema resta. Chi ha avuto l’idea? Immaginiamo un matematico che discute per mesi con un sistema di AI. Gli sottopone tentativi, intuizioni, errori e possibili strategie. Poi una versione molto più potente dello stesso ecosistema tecnologico, con migliaia di agenti, arriva per prima al traguardo. Chi ha scoperto il teorema? Il matematico? La macchina? L’azienda? Tutti insieme? È una domanda nuova. E forse più interessante dello stesso milione di dollari. Buckmaster ha parlato di un possibile momento Deep Blue-Kasparov per la matematica. Ma c’è una differenza. Kasparov giocava contro Deep Blue. I matematici di oggi, invece, lavorano con la macchina prima di trovarsela come concorrente. Le mostrano le idee. Le fanno esplorare le strade. Le insegnano dove cercare. E poi magari scoprono che è arrivata prima.
I matematici non servono più? Probabilmente no. Ma potrebbe cambiare radicalmente il loro mestiere. Il matematico del futuro potrebbe dedicare meno tempo ai passaggi tecnici e più tempo a scegliere le domande, suggerire direzioni, interpretare risultati e capire quali teoremi siano davvero importanti. Quando produrre una dimostrazione diventerà più facile, diventerà ancora più prezioso capire quale dimostrazione valga la pena cercare.
Ma la vicenda di Navier–Stokes solleva una questione ancora più inquietante: quando uomo e macchina costruiscono insieme una scoperta, chi ne è davvero l’autore? Il matematico che ha formulato l’idea iniziale? Quello che ha indicato alla macchina la strada da percorrere? L’Intelligenza Artificiale che ha trovato il passaggio decisivo? L’azienda che ha costruito e addestrato quella macchina? Oppure tutti insieme, in proporzioni che forse non saremo più in grado di ricostruire? È un problema destinato a diventare sempre più serio. Perché non sappiamo più con precisione dove finisca il contributo umano e dove cominci quello artificiale. E se l’AI diventerà una presenza quotidiana nella ricerca, persino concetti antichi come scoperta, priorità e paternità scientifica dovranno probabilmente essere ripensati. Per secoli abbiamo pensato alla matematica come ad una delle più alte avventure dell’intelligenza umana: Fermat che lascia il suo enigma sul margine di un libro, Riemann che intravede un ordine misterioso dietro i numeri primi, Perelman che risolve un problema secolare e poi rifiuta gloria e denaro. Adesso, sul palcoscenico, c’è qualcun altro: l’AI. Forse il XXI secolo sta proponendo all’umanità un nuovo problema, che non vale un milione di dollari, che non riguarda soltanto la matematica e al quale, almeno per ora, non sappiamo rispondere: se una macchina può partecipare alla creazione di un’idea, che cosa rimane di esclusivamente umano nell’atto della scoperta scientifica?